Hai mai mangiato una patatina?
Si, una semplice patatina, che probabilmente mangi ogni giorno con gli amici, o da solo, comodo sul divano davanti la televisione.
Ma credimi, una patatina può rovesciare tutto il mondo geometrico finora conosciuto!
Tra il IV e il III secolo a.C, un grande matematico chiamato Euclide ha fondato le basi della geometria che noi conosciamo, la famosa geometria euclidea, che è basato sui 5 postulati:
- tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta.
- si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.
- dato un punto e un raggio è possibile tracciare una retta.
- tutti gli angoli retti sono congruenti tra di loro.
- se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due angoli retti.
Sono sicuro che non avete letto per intero il quinto postulato, perché rispetto i precedenti il quinto è lungo e difficile da comprendere immediatamente.
Proviamo ora a capire il quinto postulato di Euclide graficalmente:
In maniera più semplice abbiamo spiegato cos’è il quinto postulato, ed essendo un postulato, è una regola che noi utilizziamo senza dimostrare. Allora è possibile fare la geometria con un altra regola?
Certamente.
Riprendiamo quella patatina che l’abbiamo lasciata all’inizio, si può notare che la patatina ha una forma ben particolare: non n’è un piano diritto, bensì curvato, infatti su un piano del
genere è possibile trovare più rette che, passando per un dato punto, parallele a una retta data.
Infatti questa volta abbiamo due rette s e t che passano per P e sono entrambi paralleli a r (perché non si incontrano mai). Questo tipo di geometria prende il nome della geometria iperbolica, elaborata dai grandi matematici dell’800 Lobacevskij e Bolyai che, in seguito, verrà esposta in maniera più
efficace da Eugenio Beltrami con un modello di una superficie a curvatura costante negativa detto “pseudosfera iperbolica”, pubblicato per prima volta nel suo saggio sulla geometria non
euclidea nel 1867.
D’altra parte Bernhard Riemann, in uno scritto del 1854 getta le basi della geometria riemanniana, detta anche la geometria ellittica, nella quale non è presente nemmeno una retta parallela rispetto a un’altra retta.
Facciamo esempio con un pallone da calcio:
questa volta la retta s incontra necessariamente la retta r per cui non n’è possibile tracciare una retta parallela a r. Anche in questa situazione il piano è curvato, in maniera diversa rispetto alla patatina, e questi tipi di geometrie avendo il quinto postulato diverso da quello di Euclide prendono il nome di geometria non euclidea. Essi hanno le proprietà molto differenti, per esempio come si può notare nel pallone il pentagone e l’esagono che sono presenti su di esso sono leggermente curvati rispetto alle stesse figure disegnate su un foglio di carta, così la loro somma degli angoli interni è più grande. Nel caso del piano a forma di patatine, se andiamo a disegnare su di esso un triangolo, noteremo che la sua somma degli angoli interni sarà meno di 180º.
OK, abbiamo conosciuto un mondo molto particolare, ma a cosa serve tutto ciò?
Non n’è più comodo studiare la geometria da una pagina di quaderno invece di andare a prendere una patatina o una palla?
Non dimentichiamo che il pianeta su cui viviamo ha una forma sferica, non viviamo in un mondo piatto, e quando si va a fare un bel viaggio con il nave i navigatori analizzano il percorso più corto non prendono un segmento che collega i due punti, perché in geometria non euclidea il percorso più corto tra i due punti non n’è mai un segmento. In relatività generale Einstein ha dovuto utilizzare la geometria iperbolica, cioè quello applicato su un piano simile a quello di patatine, per spiegare le proprietà fisiche nello spazio, perché il cosmo ha uno spazio curvo e non n’è possibile applicare la geometria euclidea che conosciamo da sempre.
I grandi matematici e scienziati i quali abbiamo definito geni non sono così ‘inumanamente’ intelligenti, semplicemente pensano alle cose che la gente comune non riesce a immaginare e fanno delle cose comunemente ritenute ‘da pazzi’.
La scienza viene portata avanti con le nuove idee, le superstizioni e i pregiudizi possono essere solo degli ostacoli sulla strada in cerca di verità.
Zhang ZhengWei
